Элементарные математические представления

                                        Особенности восприятия арифметической задачи и ее решения дошкольниками       

        Арифметическая задача – это простейшая, сугубо математическая форма отображения реальных ситуаций, которые одновременно близки и понятны детям и с которыми они ежедневно сталкиваются. Есть все основания считать, что это до некоторой степени объясняет достаточно высокий интерес обучающихся к решению арифметических задач.

           Однако, несмотря на то, что вычислительная деятельность вызывает интерес, а самой проблеме отводится значительное место в программе обучения в детском саду, многие старшие дошкольники и даже младшие школьники испытывают значительные трудности именно в решении арифметических задач. Около 20% детей подготовительной группы детского сада испытывают трудности в выборе арифметического действия, аргументации его. Эти дети, решая арифметические задачи, ориентируются в основном на внешние, несущественные связи и отношения между числовыми данными в условии задачи, а также между условием и вопросом задачи. Это проявляется, прежде всего, в непонимании обобщенного содержания понятий «условие», «вопрос», «действие», а также знаков: +, _, =, в неумении правильно выбирать необходимый знак, арифметическое действие в том случае, когда заданное в условии конкретное действие не соответствует арифметическому действию (прилетели, добавили, дороже – сложение; улетели, взяли, дешевле – вычитание). Более того, иногда воспитатели именно на эти псевдоматематические «связи» ориентируют детей. В таких ситуациях вычислительная деятельность формируется недостаточно осознанно.        

    Очевидно, основная причина низкого уровня знаний заключается в том, что отличает вычислительную деятельность от счетной. Во время счета ребенок имеет   дело  с  конкретными множествами   (предметов, звуков, движений).  Он видит,   слышит,   чувствует  эти  множества,  имеет  возможность  практически  действовать с ними (накладывать, прикладывать, непосредственно сравнивать). Что же касается вычислительной деятельности, то она связана с числами. А числа – это абстрактные понятия. Вычислительная деятельность опирается на разные арифметические действия, которые также являются обобщенными, абстрагированными операциями с множествами.      

      Понимание самой простой арифметической задачи требует анализа ее содержания, выделения ее числовых данных, понимания отношений между ними и, конечно, самих действий, которые должен ребенок выполнить.        

   Дошкольникам особенно трудно понять вопрос задачи, отражающий математическую сущность действий. Именно вопрос задачи направляет внимание   ребенка  на  отношения  между  числовыми  данными.                 Обучение дошкольников решению арифметических задач подводит их к пониманию содержания арифметических действий (добавили – сложили, уменьшили – вычли). А это возможно также на определенном уровне развития аналитико-синтетической деятельности ребенка. Для того чтобы они усвоили элементарные приемы вычислительной деятельности, необходима предварительная работа, направленная на овладение знаниями об отношениях между соседними числами натурального ряда, о составе числа, счете группами и т.д.     

     Особое значение в формировании вычислительной деятельности приобретают четкая системность и поэтапность в работе.      

    В практике работы дошкольных учреждений принято знакомить детей с арифметическими действиями и приемами вычисления на основе простых задач, в которых отражаются действия самих детей. Задача помогает детям понять, например, смысл нахождения суммы по двум слагаемым. Разнообразие же задач на сложение и вычитание способствует постепенному осознанию смысла постоянно употребляемых терминов: прибавить, отнять, получится, останется, т.е. осознанию смысла  арифметических  действий.  Усвоение  самой  простой задачи требует анализа ее содержания, выделения числовых данных, осмысливания отношений между ними, а стало быть, и тех действий, которые должны быть совершены.        

  Решая задачу, ребенок должен подняться от простого различения численности окружающих предметов и явлений к осознанию сложных количественных отношений между ними.        

  Не сразу, как показали исследования, дети осознают и саму структуру задачи. Этому должно способствовать обучение. Вслед за пониманием структуры задачи, отличающейся от рассказа и загадки, дети должны  осмыслить отношения между числовыми данными.      

    Особую сложность для детей представляет постановка вопроса к задаче. Чем обусловлена эта трудность? Вопрос определяет сущность задачи, направляет мысль на осознание отношений между числовыми данными, помогает осмыслить характер эмпирического действия и найти соответствующее арифметическое действие, которое должно быть произведено. Но вопрос содержит две стороны: социально – бытовую и арифметическую. Ребенок их не дифференцирует и воспринимает вопрос к задаче как личное обращение к себе. Он привык, что, когда его спрашивают, надо отвечать на вопрос, а не повторять его. Поэтому, повторяя задачу, дети, как правило, не воспроизводят вопрос, а сразу включают ответ в задачу; они спешат дать ответ на вопрос. Иной функции вопроса они еще не знают. Чтобы раскрыть новую для детей сторону вопроса – арифметическую, надо опереться сначала на то, что уже известно детям, поставить каждого из них в положение придумывающего задачу, решить которую должны его слушатели. В такой ситуации необходимость вопроса для задающего задачу станет очевидной. Осмыслить значение вопроса в арифметической задаче помогает также и разный характер вопросов. Постепенно дети должны уяснить, что вопрос направляет внимание на отношения между числовыми данными и понимание того, что требуется узнать в задаче.      

       Решение   разнообразных  задач  должно  подвести  детей  к   пониманию сущности арифметических действий, к пониманию того, что в этих действиях над числами обобщается многообразная практическая деятельность людей с множествами. Она получает отражение в таких обобщенных понятиях, как прибавить, вычесть, получится, равняется и др., при этом сами числа являются показателями мощности множеств. Усвоение всех этих математических терминов поднимает мысль детей до обобщения эмпирических практических действий.  

        В своих исследованиях Е.А.Тарханова показала необходимость понимания  детьми конкретного смысла арифметического действия сложения (вычитания) и связи между компонентами и результатом этих действий. Умение выделять в задаче известное и неизвестное, а в связи с этим выбирать то или иное арифметическое действие; понимание связей между действиями сложения и вычитания. Ее установлено, что дошкольники, обучавшиеся по общепринятой методике решению простых арифметических задач, не владеют необходимым объемом знаний об арифметических действиях сложения и вычитания, так как они понимают связь между практическими действиями в основном на основе ассоциации арифметического действия с жизненным действием. Они не осознают еще математических связей между компонентами и результатом того или иного действия, так как не научились анализировать задачу, выделяя в ней известные и неизвестное.      

   Даже в тех случаях, когда дети формулировали арифметическое действие, было ясно, что они механически усвоили схему формулировки действия, не вникнув в его суть, т.е. не осознали отношений между компонентами арифметического действия как единства отношений целого и его частей. Поэтому и решали задачу привычным способом счета, не прибегая к рассуждению о связях и отношениях между компонентами. По-другому относятся к решению задач  те  дети,  которые  предварительно  упражнялись  в выполнении различных операций   над  множествами (объединение, выделение правильной части множества, дополнение, пересечение). Они понимают отношения между частью и целым, а поэтому осмысленно подходят к выбору арифметического действия при решении задач.         

     Специально организованная работа по обучению старших дошкольников умению решать и составлять арифметические задачи необходима для общего и математического развития детей и подготовит их к успешному изучению математики в школе. Задача является одним из средств развития различных форм мышления. Основным средством, которое используется  воспитателями ДОУ в процессе общего и математического развития  детей старшего дошкольного возраста, является задача, в условии которой отражаются реальные, бытовые и игровые ситуации. Что такое задача, разные авторы истолковывают по- своему.

Рассмотрим некоторые определения  понятия «задача».

Таким образом, любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем условие и требование. В начальном курсе математики  понятие «задача»  обычно используется тогда, когда речь идет об арифметической задаче (текстовой, сюжетной, вычислительной). Поэтому,  следуя принципу преемственности между детским садом и школой,  будем использовать определение задачи Семенова Е.М. Задачи играют большую роль в математической подготовке дошкольников, т.к. они являются одним из средств формирования представлений о числе, счете, величине, фигуре, ориентации в пространстве и во времени; развития у детей логического мышления, смекалки, сообразительности. В работе с задачами совершенствуются умения проводить анализ и синтез, обобщать и конкретизировать, раскрывать основное, выделять главное и отбрасывать второстепенное. Решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует побуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением. Основными или структурными элементами задачи являются условие и вопрос. Условие это то, что раскрывает связь между данными (или известными) и искомыми (или неизвестными) величинами.    Вопрос это требование того, что нужно найти, которое  выражено в повелительной (найти) или вопросительной (сколько, чему   равно) форме.  Например,  в задаче  « На полке стояло  3 кубика, 1 кубик  взяла Маша. Сколько кубиков осталось на полке?»  условие - на полке стояло  3 кубика, 1 кубик  взяла Маша;  вопрос - Сколько кубиков осталось на полке?. Решить задачу  это значит ответить на вопрос с помощью выполнения арифметических действий или логических операций. Например, в предыдущей задаче, чтобы ответить на вопрос задачи необходимо выполнить действие  вычитания  из 3 кубиков вычесть 1 кубик получится 2 кубика. На полке осталось 2 кубика – ответ задачи. 

  По составу задачи делятся  на:            Ø  элементарные,         Ø  простые,               Ø  составные.  

Задача называется элементарной, если для ее решения нет необходимости выполнять арифметические действия. Например: 1) У Коли 1 котенок, а у Ани столько же  щенят. Сколько щенят у Ани? 2) В первой вазе 2 пиона, а во второй 3 пиона. В какой вазе цветов больше? 3) Кто выше ростом Саша или Оля ? ( дети смотрят на Сашу и Олю или  на картинку, где изображены дети ) Задача называется простой, если в ней сразу можно ответить на вопрос задачи или, если она решается в одно действие, или, если в ней два числа известны, а одно неизвестно.  Например, 1) На ветке сидело 2 воробья, 1 воробей улетел. Сколько воробьев осталось на ветке? 2) Маша нарисовала  сначала 3 цветка, а потом еще 1 цветок. Сколько всего цветков нарисовала Маша? Задача называется составной, если в ней нельзя ответить на вопрос сразу или, если она состоит из двух или нескольких простых задач.

Ø  Поиск путей решения задачи и составление плана.   В современной методике рассматривают несколько способов  поиска путей решения задачи:

1)  Прямой анализ или путь разбора задачи от данных к вопросу (без выделения простых задач).   Его суть состоит в том, что при разборе задачи данным способом  нужно в тексте задачи выделить два данных и на основе знания связи между ними определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным, и с помощью какого действия, а так же почему именно с помощью этого действия. Считая это неизвестное данным, надо вновь выделить два взаимосвязанных известных данных и определить неизвестное, которое  может быть найдено по ним, а также соответствующее арифметическое действие и т.д. пока не будет выяснено действие, выполнение которого приводит к получению искомого. Этот способ наиболее доступен и понятен детям, он способствует выработке умения предвидеть, что можно узнать, исходя из данных,  и направить мысль детей в нужном плане.  Прямой анализ или путь разбора задачи от данных к вопросу ( с выделения простых задач).   Он предусматривает разбиение составной задачи на простые самим воспитанником или с помощь  наводящих вопросов учителя. Это позволяет не сковывать инициативу ребенка, дает возможность организовать творческий поиск решения задачи.                                                   

   2) Обратный анализ или разбор задачи от вопроса к данным. При данном разборе задачи нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить на основе  информации, полученной при анализе текста задачи, что достаточно знать для ответа на вопрос задачи. Обратиться к условию задачи и  выяснить есть для этого данные. Если таких данных нет или есть только одно  данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное и т.д. Обратный анализ наиболее целенаправлен на составление плана решения задачи и обучаемые получают представление о задаче в целом, а не об отдельных выбранных действиях.  Результатом разбора задачи является составление плана ее решения. Он может быть кратким или  развернутым, полным. При составлении   плана решения более сложных задач необходимо продумать дополнительные вопросы, которые помогут учащимся  составить план решения задачи. Можно составление плана решения задачи сопровождать опорными схемами решения задачи.  Например, 1) +                    2) -            или 3 + 2 = O O - 1 =      

  * Оформление записи решения задачи. Оформление записи решения задачи может быть осуществлено следующими способами:  

*  Составление и решение одной из обратных задач   Обратной называется задача, в которой неизвестная величина становится известной, а одна из известных величин становится неизвестной. При проверке задачи данным способом воспитанники должны:

*Решение задачи разными способами. Говорить о решении задачи разными способами можно лишь в том случае, если решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решения. Решив задачу другим способом, необходимо сравнить ответы. Если они совпадают, то задача решена правильно.

*Прикидка результата или установление границ искомого числа. Суть этого способа проверки заключается в прогнозировании с некоторой степенью точности правильности результата решения, т.е. до решения задачи предполагают, каким будет ответ в сравнении с данными числами. Полученный ответ сравнивают с прогнозируемым,  делают вывод о правильности решения задачи.

*  Способ подстановки.   Суть этого метода в том, что найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникло ли при этом противоречий.

   * Проверка решения задачи путем определения смысла составленных по задаче выражений и последующей проверке правильности вычислений.   Проверка правильности решения завершается записью ответа. Он может быть кратким, т.е. содержать только число и наименование или полным, тогда к числу добавляется разъяснение того, что оно обозначает. В дошкольном образовательном учреждении ответ проговаривается устно. Чтобы обратить внимание детей на число, которое получается в ответе, его можно выделить цветом или фишкой.

. Задача является одним из средств умственного развития детей,  так как в процессе работы над задачей у детей развивается логическое мышление и смекалка, то есть особый вид творчества, нахождение способа решения.  Смекалка выражается в результатах анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений. Задачи играют большую роль в математической подготовке дошкольников, т.к. они являются одним из средств формирования представлений о числе, счете, величине, фигуре, орие

 Виды простых  задач, с которыми можно познакомить  дошкольников:

В зависимости от используемого наглядного материала для составления задачи их делят на

: Ø  Задачи – драматизации; Ø  Задачи  - иллюстрации.  

Обучение дошкольников решению задач происходит через ряд взаимосвязанных этапов.

1.Подготовительный этап. Его цель – организовать систему упражнений по выполнению операций над множествами. Так, подготовкой к решению задач на сложение являются упражнения по объединению множеств. Упражнения на выделение частей множества проводится для подготовки детей к решению задач на вычитание. С помощью операций над множествами раскрывается отношение «часть – целое», доводится до понимания смысл выражений «больше на…», «меньше на …». Учитывая наглядно-действенный и наглядно-образный характер мышления дошкольников, следует оперировать такими множествами, элементами которых являются конкретные предметы: грибы, овощи, фигуры и т.д. Нужно организовать предметные действия самих детей. Первое необходимое условие для успешной подготовительной работы – обучить моделированию различных ситуаций (объединение совокупностей, удаление части, увеличение на несколько штук, сравнение и т.д.). Профессор Мурманского педагогического университета А. Белошистая предлагает использовать простейшие рисовальные схемы, т.е графические модели ситуаций задачи. Это наглядный вариант, который легко конструируется на фланелеграфе с помощью карточек  с цифрами из бумаги, знаками вопроса и стрелками. Дети могут рисовать модели карандашом  в блокноте без линейки, что вполне доступно им. Со схематическими  моделями ситуаций можно познакомить на данном этапе.    Например, 1)У мартышки день рождения. Но она боится забыть, что должна сделать к приходу гостей. Вот и попросила мартышка попугая нарисовать план того, что следует ей поставить на стол. Попугай нарисовал  схему, план.          4   1                                                                                     или Что может обозначать схема? Где у попугая обозначены полки с посудой? Где стол?  (Все продемонстрировать    с помощью предметной наглядности) 2)У попугая сегодня гости - удав и слоненок. Их надо угостить. У попугая 4 чашки, а гостей двое. Попугай нарисовал  картинку                                                  

 Стрелки на схеме показывают направление и вид действия: сходящиеся моделируют объединение, расходящиеся разделение на части, удаление части. На схеме однозначно не задано, какая часть удалена, какая оставлена. Это станет понятно в дальнейшем – с переходом к структуре  «задачи», когда один из элементов схемы  заменится  знаком вопроса. Направление движения стрелок педагог для ясности сопровождает движением  рук, чтобы дети осознали смысл схемы, моделируя ее через собственную кинестетику, т.е.  движениями рук. Дети учатся «читать» схемы, т.е. составлять рассказы и моделировать их для ситуаций. На этом же этапе дети знакомятся с символами для обозначения чисел, знаков действий сложения и вычитания, отношения «равенства». Таким образом, дети учатся переводить ситуации, заданные текстом на язык математических моделей.  

 Например, фрагмент занятия по ознакомлению со знаком «сложения»:

ДЛЯ МАЛЕНЬКИХ